グレイコードに基づく三角形の色づけ

実数のグレイコード表現は、[0,1]　区間の実数を、0，1、⊥の無限列で⊥を高々1つしか含まないものにより番地づけるものでした。（ホームページの他のドキュメントを見てください。）同様に、シェルピンスキー・ガスケットに、0，1、2、⊥の無限列で⊥を高々1つしか含まないもので番地づけをすることができます。正確には、ここでの⊥は３つの値のどれでもいいという１つの⊥があるのではなくて、０と１の境界の⊥、１と２の境界の⊥、２と０の境界の⊥という3種類の⊥があると考えます。

さて、０，１，２という３つの値は、赤、青、緑とみなすことができます。そして、無限列は、それぞれのビットに 1/2, 1/4,... と重みをつけて足し合わせることにより、一つの数を表していると考えることができます。（ボトムを含む点は境界なので、まさに２つの色の境界と考えてください。）これにより、シェルピンスキー・ガスケットに次のような色をつけることができます。

この色づけは、

対称性、回転対称性を持っています。
どこでも、rgb の成分の和は 1 なので、輝度の変化がありません。
⊥を含む点では、色のギャップがおきますが、色の変化は、最大でも、1/2 だけで、補色が隣り合うような大きい変化は起きません。さらに、無理数点にだけを取り出してみれば、その上では連続となります。つまり、局所的には、連続度が高まっていきます。

といった性質を持っています。これらは、この絵を見た時の気持ちよさの源になっているのではないかと考えます。

ところで、シェルピンスキー・ガスケットに色をつけたところで、一般にはあまり面白くないので、この色づけを3角形に拡張することを考えます。真中の三角形にどういう色を塗るかですが、周りの3つの三角形から、30度、 30度、120度の3角形の部分を各辺に関して対象に折り返すということを、再帰的に行ってやります。

すると、このような色づけになります。（実際には、もう少し違ったアルゴリズムで色づけをしています。）このように、３つの頂点を中心として、赤、青、緑という３色で色分けがされてます。しかし、三角形の周辺で見れば、赤と青の境界の近くは、赤と青の色成分が1/2 にまで減っており、代わりに緑成分が共に 1/2 まで増えています。片方が暗い黄色で、片方が暗いシアン色になっています。すなわち、境界では、(赤、青、緑) 成分が、(0.5, 0, 0.5) --> (0, 0.5, 0.5) と変化しているわけで、緑成分が、赤と青の境界を覆って連続性を出していると考えることができます。この緑成分は、三角形の中心近くではより値が小さくなっていって、境界がより明瞭になっていくのが、私としては気に入らないのですが、３つの色が、お互いの境界をカバーしあう様に重なり合っている、そういう状況ができているといえます。

さらに、様々なパラメータを変化させて、バリエーションをいくつか考えてみました。楽しんでみてください。

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